Задачка для фотографов с физическим уклоном :)

[eugenebo]

Два фотографа снимали концерт с потанцульками длительностью в 1 час. Основной целью обоих была документальность без всяких спецэффектов. При этом первый фотограф снимал всё со вспышкой, а второй -- всё без вспышки. У первого фотографа получились все кадры, а у второго половина смазалась.

Оба щёлкали независимо друг от друга, приличными камерами и с примерно одинаковой частотой. Для простоты предположим, что камеры были тоже одинаковыми, и что руки у обоих фотографов растут откуда надо.

Оценить, сколько всего кадров они сделали, если два снимка второго фотографа освещены вспышкой первого фотографа :)

Комментарии временно скрыты :)

Comments

[rezkiy.livejournal.com]

"Оба щёлкали независимо друг от друга" сомнительно. Скорее всего, они друг на друга особо не смотрели, но увеличивали интенсивность своих пуассоновских потоков примерно в одно и то же время.

[eugenebo.livejournal.com]

Ну, это упрощение, конечно. Хотя, по моему опыту, оно не так уж кошмарно далеко от истины.

[larugo.livejournal.com]

открыла френдоленту и вспомнила, где ж я вас видела! а то в субботу измучилась - лицо знакомое, а где видела не помню. оказалось во френдоленте:)

[ex-neo-is-fl156.livejournal.com]

Я не могу решить эту задачу, т.к. у меня нет желания учить соответствующую теорию вероятностей, но я могу "прикинуть".

Assumption 1. Считаем, что у второго выдержка была 1.0 сек.
Assumption 2. Количество снимков, сделанных каждым, одинаково и равно N.
Assumption 3. У первого выдержка 0 (снимок делается моментально, и, вполне возможны два подряд снимка с минимальной разницей во времени)

Таким образом, у нас есть период концерта 3600 секунд, N из которых фотографировал второй фотограф (N = N*1.0). Первый фотограф "стреляет" и попадает либо в отрезок 3600-N, либо в N, с вероятностями, пропорциональными длине отрезка.

Уточнение формулировки задачи:
При каких N вероятность ровно двух попаданий будет максимальна?

Далее мои знания теории вероятности начинают меня подводить, поэтому "прикину на глаз". Для этого отвечу на вопрос, при каком N с большой вероятностью будет хотя бы 1 попадание (т.е. не ровно 2, а >= 1). Это просто прикинуть. Для примера возмьём N=50. Вероятность не попадания ни разу: ((3600-50)/3600)^50 = 49.7%, т.е. вероятность попадания по крайней мере 1 раз: 50.3%. Возьмём теперь N=100. Вероятность не попадания ни разу: 6.0%. Вероятность попадания по крайней мере 1 раз: 94%. Интуитивно более-менее ясно, что ответ лежит где-то между 50 и 100 (т.е. суммарно вдвоём снимков сделано где-то между 100 и 200), но для точной оценки нужно почитать учебник комбинаторики и теории вероятностей. Кроме того, я мог ошибиться с выдержкой второго фотографа (интересно, как эта ошибка влияет на результат...).

[towerless.livejournal.com]

Если очень грубо прикинуть, то получается что-то вроде:
Положим, что продолжительность свечения вспышки - 1/10 секунды. Положим количество кадров, сделанных каждым - N. Предположим также, что акты съемки распределены во времени примерно равномерно. В таком случае в течении часа вспышка горела в течении N/10 секунд. Один кадр происходит в интервале длинной в среднем 3600/N секунд. Таким образом, уравнение, приблизительно описывающее условие: N/10 = (3600/N)*2, или N^2 = 72000. Таким образом N равно приблизительно 268. Факт того, что половина кадров у одного из фотографов смазалась играет лишь маргинальное значение, да и то если предположить, что при вспышке кадр смазаться не может, что не обязательно является правдой.
Но это так, навскидку.

[eugenebo.livejournal.com]

Подход верный, хотя есть способ решить это проще (см. ниже).

При выбранной эквспозиции в 1 секунду точное решение предложенного Вами уравнения даёт 2 или более попаданий при N = 20.

Реально экспозиция, при которой смазывается порядка половины кадров танцующих людей, составляет что-то около 1/60 секунды. Для неё Ваш подход даст ответ в N = 77.

Реальная цифра составила 610 кадров. Разница, как я понимаю, обусловлена предположением о возможности сколь угодно близких кадров, между тем как меньше примерно 0.3 секунды интервал между ними невозможен.

[eugenebo.livejournal.com]

Да, это правильное решение. N = sqrt(k*T/t), где k есть количество "перекрывшихся" кадров, T -- длительность концерта, а t -- экспозиция одной съемки без вспышки.

Факт, что половина кадров смазалась, однако, важен: он довольно точно определяет величину экспозиции. А именно, при съёмке танцующих людей это что-то около 1/60 секунды. Подстановка этого значения в формулу даёт N = 657.

В реальности было сделано 610 кадров.

[eugenebo.livejournal.com]

Почти :) Из "вне математики" приходит лишь знание средней экспозиции при подобной съёмке.