Трижды три
Oct. 21st, 2011 01:59 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
eugeneboВ своей жизни мне трижды приходилось решать кубические уравнения для практических нужд.
Первый раз -- классе в восьмом, при попытке предсказать максимальную скорость автомобиля по мощности двигателя и паре прочих ТТХ. Выяснилось, что их связь со скоростью описывается уравнением в самой что ни на есть канонической форме, готовой к подстановке в формулу Кардано: v3 + Av + B = 0. Саму же формулу я списал из какой-то книжки буквально за пару недель до этого и, как выяснилось, запомнил на много лет вперёд. Прочна детская память, каких только вещей к ней не прилипает совершенно естественным образом.
Много позже выяснилось, что задачу про автомобиль я всё-таки решал не совсем правильно. Но формула в голове осталась и пригодилась мне на вступительном письменном экзамене в университет.
Будучи, как бы сейчас выразились, geometrically challenged person, плани- и стереометрические задачи я приспособился решать методом грубой алгебраической силы. А именно, глядя на чертёж, я тупо выписывал все независимые уравнения, из него вытекающие, и как только их количество сравнивалось с количеством неизвестных, посылал чертёж нахрен и решал полученную систему "об колено", подобно Гоги в известном анекдоте про веник.
Как вышло, что на едва ли не важнейший экзамен в своей жизни я пришёл малоподготовленным -- тема на отдельную сагу. Факт тот, однако, что именно от его результата зависело, светит ли мне Универ или скорее армия, и что мне там пришлось туго. В диком недостатке времени я свёл-таки стереометрическую задачу к алгебраической системе которая, после ряда преобразований, вылилась в довольно корявое кубическое уравнение.
По-умному здесь надо было бы остановиться и вспомнить ещё одно уравнение, неявно присутствующее во всех экзаменационных задачах. Оно гласит: "все задачи решаются не более чем уже изученными в школе средствами!" Формула Кардано в них не входила, из чего следовало, что надо вернуться и поискать ошибку. Но времени не было. Времени совсем не было!!! Так что я ломанулся сквозь стену в надежде, что ответ всё-таки будет простым и что это я просто пришёл к нему круговым путём.
Ответ оказался корявым, как трёхсотлетний пень, и очевидно неправильным, но "позади Берингов пролив, отступать некуда" и я сдал, что было. Проверяющие, узрев среди каракуль абитуриента умение решать кубические уравнения, видимо, настолько офигели, что добавили мне один балл, и я таки прошёл :)
Третий раз случился курсе уже на пятом, в какой-то задаче по магнитной гидродинамике. Она после несложных вроде бы преобразований вдруг вылилась в кубическое уравнение. Уже обладая некоторой математичекой интуицией, я поискал в предыдущих выкладках ошибку, не нашёл, и, решив, что, "видимо, здесь природа и впрямь так устроена, и нормальные люди будут решать приблизительно", выписал точный ответ. Увы, оказалось, природе это не отвечало. Тоже где-то что-то потерял по пути.
С тех пор прошло много лет. Формулу Кардано я вот так сейчас на память уже, пожалуй, не скажу. Но мне до сих пор интересно: а есть ли люди, которым она реально пригодилась и действительно в чём-то помогла на практике?
Первый раз -- классе в восьмом, при попытке предсказать максимальную скорость автомобиля по мощности двигателя и паре прочих ТТХ. Выяснилось, что их связь со скоростью описывается уравнением в самой что ни на есть канонической форме, готовой к подстановке в формулу Кардано: v3 + Av + B = 0. Саму же формулу я списал из какой-то книжки буквально за пару недель до этого и, как выяснилось, запомнил на много лет вперёд. Прочна детская память, каких только вещей к ней не прилипает совершенно естественным образом.
Много позже выяснилось, что задачу про автомобиль я всё-таки решал не совсем правильно. Но формула в голове осталась и пригодилась мне на вступительном письменном экзамене в университет.
Будучи, как бы сейчас выразились, geometrically challenged person, плани- и стереометрические задачи я приспособился решать методом грубой алгебраической силы. А именно, глядя на чертёж, я тупо выписывал все независимые уравнения, из него вытекающие, и как только их количество сравнивалось с количеством неизвестных, посылал чертёж нахрен и решал полученную систему "об колено", подобно Гоги в известном анекдоте про веник.
Как вышло, что на едва ли не важнейший экзамен в своей жизни я пришёл малоподготовленным -- тема на отдельную сагу. Факт тот, однако, что именно от его результата зависело, светит ли мне Универ или скорее армия, и что мне там пришлось туго. В диком недостатке времени я свёл-таки стереометрическую задачу к алгебраической системе которая, после ряда преобразований, вылилась в довольно корявое кубическое уравнение.
По-умному здесь надо было бы остановиться и вспомнить ещё одно уравнение, неявно присутствующее во всех экзаменационных задачах. Оно гласит: "все задачи решаются не более чем уже изученными в школе средствами!" Формула Кардано в них не входила, из чего следовало, что надо вернуться и поискать ошибку. Но времени не было. Времени совсем не было!!! Так что я ломанулся сквозь стену в надежде, что ответ всё-таки будет простым и что это я просто пришёл к нему круговым путём.
Ответ оказался корявым, как трёхсотлетний пень, и очевидно неправильным, но "позади Берингов пролив, отступать некуда" и я сдал, что было. Проверяющие, узрев среди каракуль абитуриента умение решать кубические уравнения, видимо, настолько офигели, что добавили мне один балл, и я таки прошёл :)
Третий раз случился курсе уже на пятом, в какой-то задаче по магнитной гидродинамике. Она после несложных вроде бы преобразований вдруг вылилась в кубическое уравнение. Уже обладая некоторой математичекой интуицией, я поискал в предыдущих выкладках ошибку, не нашёл, и, решив, что, "видимо, здесь природа и впрямь так устроена, и нормальные люди будут решать приблизительно", выписал точный ответ. Увы, оказалось, природе это не отвечало. Тоже где-то что-то потерял по пути.
С тех пор прошло много лет. Формулу Кардано я вот так сейчас на память уже, пожалуй, не скажу. Но мне до сих пор интересно: а есть ли люди, которым она реально пригодилась и действительно в чём-то помогла на практике?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Кардано и Феррари
Date: 2011-10-22 07:14 pm (UTC)Кстати, в отличие от формулы Кардано, я считаю очень полезным метод Феррари для решения уравнений 4-й степени. Это действительно очень полезная с практической точки зрения вещь.
Re: Кардано и Феррари
Date: 2011-10-24 06:22 pm (UTC)Как (бывший) физик я, конечно, встречал в своей практике уравнения четвёртой степени, требовавшие решения. Но всякий раз выяснялось, что сделанные по ходу постановки задачи приближения вносят неопределённости, сопоставимые с парой нестарших членов в уравнении и что, соответственно, точное решение в лучшем случае не более верно, чем угрубленное с точностью до первых членов следующего порядка. Которое обычно выписывается в дону строчку "методом прищуривания" :)
Что касается уравнений более высокой степени, то у меня есть вопрос, на который я до сих пор толком не понимаю ответа.
Положим, мы определили функцию Ж:C5 -> C5, которая берёт на вход 5 коэффициентов уравнения 5-й степени, а на выходе выдаёт 5 корней. Компьтеры сегодня мощные, так что численное вычисление Ж со сколь угодной желаемой точностью не представляет проблемы.
Вопрос: с использованием Ж, радикалов, и арифметических действий -- можно ли аналитически выразить решение уравнений более высоких степеней, и если да, то каких?
группы Галуа
Date: 2011-10-24 07:14 pm (UTC)Для всякого n имеется уравнение, группа Галуа которого есть симметрическая группа Sn или знакопеременная группа An. Если бы корни уравнения можно было бы выразить через то, что Вы описали, то группу Галуа можно было бы разложить на "факторы", которые либо цикличны, либо являются подгруппами в S5. Однако группы An при всех n, начиная с 5, являются простыми. И их вообще никак "нетривиально" не разложить на "факторы".
Re: группы Галуа
Date: 2011-10-24 11:17 pm (UTC)